Ein Ausflug ins Unendliche

Kaum ein Konzept überfordert unsere Alltagsvorstellung so gründlich wie die Unendlichkeit. Wir benutzen das Wort ständig ("unendlich viele Möglichkeiten", "das dauert ewig"), aber die Mathematik zeigt: Was wir umgangssprachlich als "unendlich" bezeichnen, ist im Vergleich zur mathematischen Unendlichkeit geradezu bescheiden – und diese selbst kommt, kaum zu glauben, in verschiedenen "Größen" vor.

Genauso viele Brüche wie ganze Zahlen?

Ein klassisches Beispiel, das schon im 19. Jahrhundert für Verblüffung sorgte: Gibt es mehr Brüche als natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4 …)? Intuitiv würde man vermuten: natürlich, schließlich liegen zwischen je zwei natürlichen Zahlen bereits unendlich viele Brüche. Die überraschende mathematische Wahrheit lautet jedoch: Es gibt exakt gleich viele Brüche wie natürliche Zahlen – beide Mengen sind "abzählbar unendlich", das heißt, man kann sie in einer eindeutigen, lückenlosen Liste durchnummerieren.

Noch verblüffender: Man kann sogar zeigen, dass es nicht mehr Brüche insgesamt (auf der gesamten unendlichen Zahlengeraden) gibt als bereits in dem winzigen Intervall zwischen 0 und 1. Ein endlicher Ausschnitt der Zahlengerade "enthält" in diesem präzisen mathematischen Sinn genauso viel Unendlichkeit wie das gesamte Zahlensystem.

Aber es gibt noch größere Unendlichkeiten

Der Mathematiker Georg Cantor bewies im späten 19. Jahrhundert etwas noch Radikaleres: Die Menge der reellen Zahlen (also aller Zahlen inklusive der unendlichen, nicht periodischen Dezimalzahlen wie π) ist tatsächlich "größer" als die Menge der natürlichen Zahlen – sie lässt sich nicht durchnummerieren, egal wie man es anstellt. Cantors berühmtes Diagonalargument beweist dies mit bestechender Logik. Damit gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele verschiedene "Stufen" der Unendlichkeit, die sich präzise mathematisch voneinander unterscheiden lassen.

Ein Gedankenhimmel für sich

Diese Erkenntnisse führten zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu tiefgreifenden Grundlagenkrisen der Mathematik – etwa zur berühmten Russellschen Antinomie, jenem logischen Widerspruch, der entsteht, wenn man versucht, die "Menge aller Mengen" zu bilden. Solche Paradoxien zwangen die Mathematiker, ihre Grundlagen durch strenge Axiomensysteme neu und widerspruchsfrei zu fundieren – eine Arbeit, die bis heute Nachwirkungen zeigt, etwa in Kolmogorows Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die wir in einem früheren Beitrag behandelt haben.

Warum uns das trotzdem etwas angeht

Man mag einwenden, all das sei reine Kopfgeburt ohne Bezug zur Wirklichkeit. Doch genau das Gegenteil ist der Fall: Unendlichkeitskonzepte stecken tief in der Infinitesimalrechnung, ohne die es weder moderne Physik noch Ingenieurwesen gäbe. Und philosophisch betrachtet zeigt der Ausflug ins Unendliche etwas Grundlegendes über die menschliche Vorstellungskraft: Wir können Dinge präzise beweisen, die wir uns niemals wirklich "vorstellen" können. Genau darin liegt, wie es der Mathematiker Pierre Basieux formuliert, das eigentliche Abenteuer der Mathematik – nicht nur sie zu betreiben, sondern sie zu erfahren.