Kolmogorow 1933: Die Geburt der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie

Zwischen Pascal und Fermat im 17. Jahrhundert und der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie wir sie heute kennen, klafft eine überraschend große Lücke. Fast 280 Jahre lang arbeiteten Generationen von Mathematikern mit einem Wahrscheinlichkeitsbegriff, der zwar im Alltag gut funktionierte, aber auf wackligen theoretischen Beinen stand. Erst 1933 bekam die Wahrscheinlichkeit ein wirklich solides mathematisches Fundament.

Das Problem der klassischen Definition

Pierre-Simon de Laplace hatte 1812 die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Verhältnis definiert: Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch Anzahl aller möglichen Fälle – unter der Annahme, dass alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Klingt einleuchtend, hat aber einen logischen Haken: Was genau bedeutet "gleich wahrscheinlich"? Die Definition setzt letztlich das voraus, was sie eigentlich erklären soll – ein klassischer Zirkelschluss.

Mathematiker wie Richard von Mises versuchten es Anfang des 20. Jahrhunderts anders: über die relative Häufigkeit bei unendlich vielen Wiederholungen eines Experiments. Auch dieser Ansatz hatte Schwächen – nicht zuletzt, weil er sich schlecht in die übrige moderne Mathematik, etwa die Analysis, einfügen ließ.

David Hilberts Auftrag

Auf dem berühmten Mathematikerkongress 1900 in Paris hatte David Hilbert 23 große ungelöste Probleme formuliert, die die mathematische Forschung der folgenden Jahrzehnte prägen sollten. Eines davon: die dringende Notwendigkeit, eine widerspruchsfreie Axiomatik für die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu schaffen.

Drei einfache Axiome, ein festes Fundament

Der sowjetische Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987) löste dieses Problem 1933 auf verblüffend elegante Weise – mit gerade einmal drei Axiomen:

1. Keine negativen Wahrscheinlichkeiten. Jedem Ereignis wird eine Wahrscheinlichkeit ≥ 0 zugeordnet.
2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1. Der gesamte Ereignisraum als Ganzes tritt mit Sicherheit ein.
3. Additionsregel. Schließen sich zwei Ereignisse gegenseitig aus, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von beiden eintritt, gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.

Aus diesen drei simplen Bausteinen lässt sich die gesamte moderne Wahrscheinlichkeitstheorie ableiten – inklusive der bekannten Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ereignisse A und B beide eintreten, ist das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.

Warum das kein trockener Formalismus ist

Das eigentlich Bemerkenswerte an Kolmogorows Leistung: Seine Axiome sagen bewusst nichts darüber aus, welche konkreten Zahlenwerte einem realen Ereignis zuzuordnen sind – ob eine Münze wirklich fair ist oder eine Roulettekugel wirklich jede Zahl mit gleicher Chance trifft, ist eine Frage der Interpretation und Anwendung, nicht der reinen Mathematik. Diese saubere Trennung zwischen mathematischem Modell und physikalischer Wirklichkeit ist genau das, was seither jede seriöse Chancenberechnung – am Roulettetisch wie in der Statistik – überhaupt erst wasserdicht macht.

1933 gilt seither zurecht als das eigentliche Geburtsjahr der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.