David Hilbert: Der Mann, der die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf ein festes Fundament stellen wollte

Nach Richard von Mises und seiner Häufigkeitstheorie widmet sich unsere Reihe nun einem Mathematiker, der selbst nie über Roulette schrieb, dessen Denken aber die gesamte moderne Mathematik – und damit auch jede seriöse Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeiten am Roulettetisch – bis heute grundlegend prägt: David Hilbert, von vielen Zeitgenossen und Historikern als der bedeutendste Mathematiker seiner Epoche bezeichnet.

Vom unauffälligen Schüler zum führenden Kopf einer neuen Mathematik

Hilbert wurde 1862 in Königsberg als Sohn einer alten ostpreußischen Juristenfamilie geboren. Über seine schulischen Leistungen ist wenig Bemerkenswertes überliefert – anekdotisch heißt es, seine Deutschaufsätze habe zuweilen eher seine Mutter verfasst, während er selbst schon früh seinen Lehrern mathematische Probleme erklären konnte. Rückblickend kommentierte Hilbert seine Schulzeit trocken: Er habe sich dort nicht sonderlich mit Mathematik beschäftigt, da er ja gewusst habe, dass er das später ohnehin tun würde.

An der Universität Königsberg entwickelte sich eine lebenslange, für seine Karriere entscheidende Freundschaft mit dem Mathematiker Hermann Minkowski. Nach Promotion und Habilitation in Königsberg holte ihn Felix Klein 1895 als Professor nach Göttingen – gegen anfängliche Kritik, einen so jungen Mann zu berufen, entgegnete Klein trocken, er berufe sich damit den "Allerunbequemsten". Göttingen entwickelte sich unter Hilberts Wirken in den folgenden Jahrzehnten zu einem der weltweit führenden Zentren der Mathematik.

Die 23 Probleme, die die Mathematik des 20. Jahrhunderts prägten

Der wohl folgenreichste Moment in Hilberts Karriere ereignete sich 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris. Statt, wie von vielen erwartet, auf die Erfolge des vergangenen Jahrhunderts zurückzublicken, wagte Hilbert den Blick nach vorn: Er präsentierte eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen, die zur Leitschnur ganzer Mathematiker-Generationen wurden. Bis heute gelten 15 dieser "Hilbertschen Probleme" als gelöst, drei als ungelöst und fünf als grundsätzlich unlösbar – darunter, mit besonderer Ironie, ausgerechnet Hilberts eigene Forderung nach einem Beweis der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik, deren Unerfüllbarkeit sein einstiger Assistent Kurt Gödel 1930 nachwies.

Für uns besonders relevant ist Hilberts sechstes Problem: die Forderung, die Physik – und mit ihr die Wahrscheinlichkeitstheorie – auf ein streng axiomatisches Fundament zu stellen, ganz ähnlich wie er es zuvor bereits für die Geometrie geleistet hatte. Genau diese Forderung war es, die spätere Mathematiker wie den bereits in unserer Reihe vorgestellten Richard von Mises und schließlich Andrei Kolmogorow dazu antrieb, die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf ein wasserdichtes mathematisches Fundament zu stellen. Kolmogorows 1933 vorgelegte Axiomatisierung, die bis heute die Grundlage jeder modernen Wahrscheinlichkeitsberechnung bildet – auch der Berechnung, warum jede einzelne Zahl beim europäischen Roulette exakt eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 37 besitzt –, ist letztlich eine direkte Antwort auf Hilberts Programm.

Der Formalist: "Tische, Stühle und Bierseidel"

Hilbert war der führende Vertreter einer mathematischen Denkrichtung, die als Formalismus bekannt wurde: die Überzeugung, dass mathematische Aussagen nicht auf Anschauung, sondern ausschließlich auf logisch stimmigen Axiomensystemen beruhen sollten. Berühmt ist sein Ausspruch, man könne in der Geometrie statt "Punkte, Geraden und Ebenen" ebenso gut "Tische, Stühle und Bierseidel" sagen – entscheidend sei allein, dass die zugrunde liegenden Axiome erfüllt seien, nicht die konkrete Bedeutung der Begriffe. Diese radikale Trennung von Anschauung und logischer Struktur ist genau jenes Prinzip, das später auch die Wahrscheinlichkeitstheorie durchdrang: Ob man von Roulettezahlen, Münzwürfen oder abstrakten Ereignismengen spricht, ist mathematisch letztlich gleichgültig – entscheidend sind die Axiome, die das jeweilige Zufallsmodell beschreiben.

Ein unerschütterlicher Wissenschaftsoptimist

Hilberts wissenschaftliches Selbstverständnis lässt sich in einem einzigen, bis heute vielzitierten Satz zusammenfassen, der auch auf seinem Grabstein in Göttingen eingemeißelt ist: "Wir müssen wissen, und wir werden wissen." Er lehnte die Vorstellung grundsätzlich unlösbarer wissenschaftlicher Probleme entschieden ab und argumentierte, dass es in der Mathematik kein echtes "Ignorabimus" gebe – kein prinzipiell Unwissbares. Diese Grundhaltung prägte auch seinen Umgang mit dem scheinbar Ungreifbaren, dem Zufall: Für Hilbert war Wahrscheinlichkeit kein mystisches Phänomen, sondern etwas, das sich – richtig axiomatisiert – ebenso präzise fassen ließe wie jede andere mathematische Struktur.

Zivilcourage im Angesicht des Nationalsozialismus

Nach der nationalsozialistischen Machtergreifung 1933 musste Hilbert miterleben, wie das von ihm mitgeprägte mathematische Zentrum Göttingens durch die Vertreibung jüdischer und politisch unliebsamer Wissenschaftler – darunter Richard Courant, Emmy Noether und Hermann Weyl – faktisch zerschlagen wurde. Als ihn der neue Reichsminister 1934 bei einem Bankett fragte, ob das Göttinger Institut denn wirklich unter dem Weggang der jüdischen Wissenschaftler gelitten habe, soll Hilbert lakonisch geantwortet haben: "Das Institut – das gibt es doch gar nicht mehr."

Ein bleibendes mathematisches Erbe

Hilberts Name lebt in zahlreichen mathematischen Konzepten fort, allen voran im nach ihm benannten Hilbert-Raum, einer fundamentalen Struktur der modernen Funktionalanalysis und Quantenmechanik. Auch das populäre Gedankenexperiment "Hilberts Hotel", das die kontraintuitiven Eigenschaften unendlicher Mengen veranschaulicht, trägt seinen Namen – ein Konzept, das dem Grenzwertgedanken der Häufigkeitstheorie, wie sie Richard von Mises für unendlich lange Beobachtungsreihen formulierte, gedanklich nicht unähnlich ist. David Hilbert starb 1943 in Göttingen, mitten im Zweiten Weltkrieg, sein Tod wurde von der deutschen Wissenschaftswelt zu diesem Zeitpunkt nur beiläufig registriert.

Warum David Hilbert für Roulette-Interessierte relevant bleibt

Hilbert selbst hat nie über Glücksspiele geschrieben. Doch sein Bestehen darauf, dass jede wissenschaftliche Disziplin – einschließlich der Physik und damit implizit der Wahrscheinlichkeitstheorie – auf einem lückenlosen, widerspruchsfreien Axiomensystem beruhen müsse, war die entscheidende Weichenstellung, ohne die Kolmogorows moderne, mathematisch strenge Wahrscheinlichkeitstheorie kaum denkbar gewesen wäre. Jede seriöse Berechnung der Gewinnchancen am Roulettetisch stützt sich heute, oft ohne dass es den Beteiligten bewusst ist, auf ein intellektuelles Fundament, das maßgeblich auf Hilberts Forderung nach mathematischer Strenge zurückgeht.